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4. Haskell による真理値計算プログラム

真理値表の計算は機械的なので、コンピュータにやらせることができると思いついた。そこで、Haskell で計算させてみたら簡単に ghci で計算できた。

Haskell にはビルトインの論理演算子として、not, &&, || が含まれている。

Prelude> not True

False

Prelude> True && False

False

Prelude> True || False

True


含意はないので自前で定義した。


Prelude> let imply a b = (not a) || b

Prelude> True `imply` False

False


真理値表の計算値は内包表記を使う。


Prelude> [a `imply` b | a <- [True,False], b <- [True, False]]

[True,False,True,True]


これはつぎのような真理値表の結果と同じだ。


A | B | A -> B

T | T | T

T | F | F

F | T | T

F | F | T


これでトートロジーの確認が楽になった。


Prelude> [a `imply` (b `imply` a)| a <-[True, False], b <- [True, False]]

[True,True,True,True]


これは A -> (B -> A) がトートロジーであることを示している。


このような命題の真理値を求める関数 V を真理値関数というが、『数学基礎論講義』では次のように定義してある。


(1) A が原子命題のとき 185/55R15 82V Goodyear グッドイヤー LS EXE LS エグゼ STEINER FORCED SF-C シュタイナー フォースド SF-C サマータイヤホイール4本セット、V(A) = v(A) ... ただし v(A) は原始命題 A に真理値を割り当てる関数。

(2) V(¬A) = T ⇔ V(A) = F

(3) V(A ∧ B) = T ⇔ V(A) = T かつ V(B) = T

(4) V(A ∨ B) = T ⇔ V(A) = T または V(B) = T

(5) V(A -> B) = T ⇔ V(A) = F または V(B) = T


数学的な表現になっているが、上のプログラムと同じ結果になる。真理関数をこういう形で定義すると、毎回真理表を作らなくても真理関数 V によって命題の真偽を調べることができる。真理値表を作成する場合も、真理値関数を利用する場合も、いずれの場合も命題の構造に対して機械的に真理値を計算できる。命題の真理値がその構造から機械的に求められるというのが重要である。


また、命題論理を拡張した述語論理では、量化記号を含む命題を扱うが 185/60R15 84H YOKOHAMA ヨコハマ BluEarth-A AE50 ブルーアース エース AE-50 Laffite LW-03 ラフィット LW-03 サマータイヤホイール4本セット、量化記号を含む命題の場合、有限集合を対象とした命題は有限個の命題論理に分解できるが、無限集合を対象とした命題は無限個の命題に分解されるため、直接に真理表を作成できない。このような場合でも上の真理関数を拡張して量化記号を真理関数に導入することによって 14インチ サマータイヤ セット【スペーシア(MK42S系)】MANARAY ユーロストリーム BV25 ブラックポリッシュ/ダブルブラッククリア 4.5Jx14Bluearth AE-01 155/65R14、述語命題の真理値を計算できる。


命題論理の場合も述語論理の場合も命題の真理値はその構造から機械的に計算できるということが重要だ。


by tnomura9 | 2016-07-31 08:51 | 考えるということ | Comments(0)
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